Un problema matematico che resisteva da oltre un secolo – 125 anni, per la precisione – è stato finalmente risolto da un’équipe di scienziati della University of Michigan e di altri istituti di ricerca. Si tratta, per la precisione, del sesto problema di Hilbert, un’ambiziosa sfida posta dal matematico David Hilbert nel 1900 con il sibillino titolo di “Trattamento matematico degli assiomi della fisica”. Sostanzialmente, Hilbert (si) chiedeva come fosse possibile derivare assiomaticamente alcune leggi della fisica, in particolare quelle relative al comportamento dei fluidi su scale spaziali diverse: bene, i tre autori del lavoro appena caricato su ArXiv affermano di essere riusciti a unificare con successo queste leggi, il che potrebbe avere profonde implicazioni nel campo della fluidodinamica e migliorare la nostra comprensione del comportamento dell’atmosfera e degli oceani.
Il problema matematico di Hilbert
La questione che si poneva Hilbert, riassunta grossolanamente, è questa. Esistono tre diverse trattazioni per il moto dei fluidi. La prima è quella microscopica: con le leggi del moto di Newton si possono (almeno) in linea di principio seguire le traiettorie e i comportamenti di ciascuna delle particelle che compongono il fluido. La seconda è quella mesoscopica, fornita dall’equazione di Boltzmann, che descrive “statisticamente” il comportamento del fluido. Infine c’è quella macroscopica, fornita dalle equazioni fluidodinamiche di Eulero e Navier-Stokes, che descrivono il comportamento del fluido “nel suo insieme”. La seconda parte del sesto problema di Hilbert è proprio relativa alla derivazione e unificazione di queste tre trattazioni da assiomi primi e in una teoria organica e armoniosa. Ed è questo che Yu Deng, Zaher Hani e Xiao Ma, i tre autori del lavoro appena pubblicato, sostengono di essere riusciti a fare, derivando le equazioni macroscopiche dei fluidi a partire dalle leggi di Newton e passando per la teoria cinetica di Boltzmann.
Tutta colpa del tempo
Perché ci è voluto così tanto tempo per risolvere questo problema matematico? Una delle principali difficoltà è legata al tempo, entità sottile e complessa la cui comprensione e trattazione perseguita da tempo (sic!) i fisici. In particolare, come spiega Deng, alcune delle leggi in questione (quelle di Newton, per esempio) sono simmetriche rispetto all’inversione temporale, nel senso che “funzionano” sia che il tempo scorra in avanti che all’indietro, ossia, in altre parole, non individuano una direzione privilegiata per lo scorrere del tempo. La nostra esperienza quotidiana, invece, ci dice il contrario – sappiamo che il tempo scorre sempre e solo in una direzione – e così fanno anche le leggi di Boltzmann e della termodinamica, che per l’appunto indicano una precisa direzione per lo scorrere del tempo, dal passato al futuro, ovvero (per essere più tecnici) da uno stato di minore entropia a uno stato di maggiore entropia. Gli autori dell’articolo dicono di essere riusciti a comprendere esattamente come, dove, quando e perché scatta questo interruttore che individua una direzione privilegiata per lo scorrere del tempo, superando così il paradosso della simmetria temporale.
Semplificazione e risoluzione
Fino a questo momento, erano state proposte una serie di “soluzioni parziali” al sesto problema di Hilbert, ma l’approccio degli autori del lavoro appena pubblicato ha portato a una formulazione finalmente più generale della soluzione. In particolare, i tre hanno trovato un modo per semplificare la trattazione delle equazioni del moto di particelle che interagiscono ripetutamente tra loro (si può pensare a un fluido come a un insieme di palline che muovendosi urtano costantemente l’una con l’altra) e in questo modo, riducendo la complessità del problema, sono riusciti a far combaciare tutte le tessere del mosaico. Ma nonostante il successo, non sono ancora soddisfatti: “La soluzione dei problemi di Hilbert – ha detto Hani – non è ancora completa. L’importanza del sesto problema non sta solo nell’assiomatizzazione delle leggi della fisica, ma anche nella comprensione delle implicazioni di questi modelli matematici. Sappiamo che i modelli, a un certo punto, a una certa scala spaziale o temporale, cessano di funzionare. Penso che la formulazione moderna per il sesto problema di Hilbert dovrebbe essere posta in termini della comprensione di ciò che accade quando questo avviene”. Gli scienziati sono particolarmente interessati, in particolare, a capire cosa succede a scale ancora più microscopiche, quando le equazioni dei fluidi portano alle cosiddette singolarità, cioè a soluzioni matematiche che non hanno senso dal punto di vista della fisica. Non è solo prurito accademico: in molti scenari nei settori dell’oceanografia e della scienza dell’atmosfera, infatti, si incappa frequentemente nelle singolarità; e il lavoro appena pubblicato potrebbe aiutare a capire come affrontare la questione. Come ammettono gli autori, però, potrebbe volerci ancora molto tempo.
Fonte : Wired
